【2017ccpc杭州L】【hdu6275】Mod, Xor and Everything 题解

题目大意

  求 $(n \bmod 1)\oplus(n \bmod 2)\oplus \cdots \oplus(n \bmod n)$
  $n \leq 10^{12}$

$$\\$$ $$\\$$ $$\\$$

题解

  此题跟超级绵羊异或异曲同工。

  求异或和有一个思路是：求出每一位分别是什么。
  从低到高第 $k$ 位（从 $0$ 开始）的答案其实就是

$$\begin{aligned} &\sum_{i=1}^n\lfloor\frac{n~mod~i}{2^k}\rfloor \pmod{2} \\ =&\sum_{i=1}^n\lfloor\frac{n-\lfloor\frac{n}{i}\rfloor i}{2^k}\rfloor \pmod{2} \end{aligned}$$

  注意到 $\lfloor\frac{n}{i}\rfloor$ 是可分块的，于是把它分块，这就成类欧啦~

  当然可能还需要卡卡常：比如调整循环顺序以剪枝，比如前 1e7 个直接暴力。。。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;

typedef long long LL;

LL n;

bool f(LL a,LL b,LL c,LL n)
{
	if (!a) return (((n+1)&(b/c))&1)>0;
	if (a>=c || b>=c)
	{
		LL sqr=(n&1) ?(n+1)/2*n :n/2*(n+1) ;
		return ((f(a%c,b%c,c,n)+(a/c)*sqr+(n+1)*(b/c))&1)>0;
	} else
	{
		LL m=(a*n+b)/c;
		return (((m*n)^f(c,c-b-1,a,m-1))&1)>0;
	}
}

int T;
int main()
{
	scanf("%d",&T);
	while (T--)
	{
		scanf("%lld",&n);
		
		LL ans=0,sqrtn=min(30000000ll,n);
		fo(i,1,sqrtn) ans^=n%i;
		for(LL i=sqrtn+1, j; i<=n; i=j+1)
		{
			j=n/(n/i);
			LL lim=n/i*(j-i)+n%j, ans1=0;
			for(LL k=1; k<=lim; k<<=1) ans1+=f(n/i,n%j,k,j-i)*k;
			ans^=ans1;
		}
		
		printf("%lld\n",ans);
	}
}