【2018ccpc网络赛1008】【hdu6445】Search for Answer 题解

题目大意

  有一幅竞赛图（n<=200），其中一些边未定向（ $s[i][j]=1$ 且 $s[j][i]=0$ 表示一条边从 $i$ 到 $j$，$s[i][j]=s[j][i]=2$ 表示未定向）。现在你要把这些边定向，使得图的权值最大。权值用下面的算法来计算：

$$\\$$ $$\\$$ $$\\$$

题解

  据说你们都能很顺利地直接推出式子。。。果然是我太菜了吗 QAQ

  考虑容斥，首先先把所有四元环加一次（即 $A_n^4$），然后把不该加的去掉。不该加的环一定存在某个点连了两条出边，且如果这个环是 $Ans$ 不加不减的，那么它有且仅有一个这样的点；如果是 $Ans$ 要减的，那么它就会有两个这样的点。
  于是我们只要枚举一个点的两条出边，再枚举另一个点，这样来代表一个不该加的环，然后给 $Ans$ 减 8。如果这个环是 $Ans$ 不加不减的，那么它刚好被全部减掉；如果这个环是 $Ans$ 要减的，那么它就被减了两次，刚好成为负数。于是得出了下面的式子：

$$Ans=A^4_n-\sum_{i=1}^n \binom{deg[i]}{2}*(n-3)*8$$

  （注：牛客上面的式子是错的）

  于是可以发现答案只跟点的出度有关，并且 $\sum \binom{deg[i]}{2}$ 越小越好。这个可以费用流，左边一排点表示未定向的边，右边两排点表示原图的点，右边的 $i$ 与 $i’$ 之间连若干条边，表示点 $i$ 每次度数 +1 的费用增量（类似于动态加边那样，但是不用动态加边也能过）。

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;

typedef long long LL;

const int maxn=205, maxp=20405, maxe=80205;

int n,mp[maxn][maxn],dg[maxn],sum;

int ReadDigit()
{
	char ch=getchar();
	while (ch<'0' || ch>'9') ch=getchar();
	return ch-'0';
}

int tot,go[2*maxe],val[2*maxe],Cos[2*maxe],nxt[2*maxe],f1[maxp];
void ins(int x,int y,int z,int c)
{
	go[++tot]=y;
	val[tot]=z;
	Cos[tot]=c;
	nxt[tot]=f1[x];
	f1[x]=tot;
}

LL ans;
int d[10*maxp],dis[maxp],fro[maxp][2];
bool bz[maxp];
void McMf()
{
	while (1)
	{
		memset(dis,127,sizeof(dis)), dis[0]=0;
		bz[ d[1]=0 ]=1;
		for(int i=1, j=1; i<=j; i++)
		{
			for(int p=f1[d[i]]; p; p=nxt[p]) if (val[p] && dis[d[i]]+Cos[p]<dis[go[p]])
			{
				dis[go[p]]=dis[d[i]]+Cos[p];
				fro[go[p]][0]=d[i], fro[go[p]][1]=p;
				if (!bz[go[p]])
				{
					bz[ d[++j]=go[p] ]=1;
					if (dis[d[i+1]]>dis[d[j]]) swap(d[i+1],d[j]);
				}
			}
			bz[d[i]]=0;
		}
		if (dis[sum]==2139062143) break;
		for(int i=sum; i; i=fro[i][0])
		{
			int p=fro[i][1];
			val[p]--, val[(p&1) ?p+1 :p-1 ]++;
			ans+=Cos[p];
		}
	}
}

int T;
int main()
{
	scanf("%d",&T);
	while (T--)
	{
		tot=0;
		memset(f1,0,sizeof(f1));
		
		scanf("%d",&n);
		memset(dg,0,sizeof(dg));
		fo(i,1,n)
			fo(j,1,n)
			{
				mp[i][j]=ReadDigit();
				if (mp[i][j]==1) dg[i]++;
			}
		fo(i,1,n)
		{
			ins(0,i,n+5,0), ins(i,0,0,0);
			fo(j,dg[i]+1,n-1) ins(i,n+i,1,j*(j-1)/2-(j-1)*(j-2)/2), ins(n+i,i,0,0);
		}
		sum=2*n;
		fo(i,1,n-1)
			fo(j,i+1,n) if (mp[i][j]==2)
			{
				sum++;
				ins(n+i,sum,1,0), ins(sum,n+i,0,0);
				ins(n+j,sum,1,0), ins(sum,n+j,0,0);
			}
		fo(i,2*n+1,sum) ins(i,sum+1,1,0), ins(sum+1,i,0,0);
		sum++;
		
		ans=0;
		fo(i,1,n) ans+=dg[i]*(dg[i]-1)/2;
		McMf();
		ans=(LL)n*(n-1)*(n-2)*(n-3)-ans*(n-3)*8;
		
		printf("%I64d\n",ans);
	}
}