【AtCoder Grand 012C】Tautonym Puzzle 题解

题目大意

  如果一个序列,长度为偶数,从中间劈开之后左边跟右边是相同的,则称这个序列是好的。例如 {1, 2, 3, 1, 2, 3} 是好的,{1, 2, 3, 1, 2, 4} 是不好的。
  现在要你构造一个序列,满足三个条件:

  1. 序列长度 <=200
  2. 元素大小 <=100
  3. 恰有 n 个子序列是好的。

  $n<=10^{12}$

解法1

  考虑二进制拆分。

  比如序列是 1 2 3 4 1 2 3 4,那他的好子序列个数就是 2^4。
  1e12 的二进制 35 位,所以需要的序列长度最坏是 2*(1+2+3+…+35),需要的元素大小最坏是 1+2+3+…+35

解法2

  考虑倍增。

  比如序列是 x1 x2 x3 x4 1 2 3 4,其中 x 是长度为 4 的排列,那他的好子序列个数就是 x 的上升子序列个数。
  假设当前方案数为 $ans$,要使 $ans\cdot 2$,则变成 x1 x2 x3 x4 5 1 2 3 4 5;要使 $ans+1$,则变成 5 x1 x2 x3 x4 1 2 3 4 5。依此类推。
  所需要的序列长度最坏是 $4 \cdot \log(10^{12})$,元素个数最坏是 $2\cdot \log( 10^{12} )$