【AtCoder Regular 119D】Grid Repainting 3 题解

题目大意

  给定一个 $H\times W$ 的矩阵，每个格子要么是红色要么是蓝色。每次可以选择一个红色格子，然后把这一列或者这一行染白。问最多能染白多少格子，并输出一种方案。

  $H,W \le 2500$
  2s

$$\\$$ $$\\$$ $$\\$$

题解

  其实思路十分自然 但你就是想不出来哈哈哈哈

  可以想到经典的二分图模型，左边一排点表示行，右边一排点表示列。每次操作选择一个度数大于 $1$ 的点，然后把这个点的连边全部删掉。假设删了 $x$ 个左边点和 $y$ 个右边点，那么最终收益是 $xW+yH-xy$。
  显然删的点越多越好。

  考虑二分图连成一棵树。这棵树不可能全部删完，但是也最多只会留下一个点（以它为根，每次删一个叶子）。所以要么留一个左边点，要么留一个右边点。

  考虑森林（假设不包含单点的树），设有 $k$ 棵树，$z$ 棵树选择留左边点，那么最终收益是

$$(X-z)W+(Y-(k-z))H-(X-z)(Y-(k-z))$$

  其中 $X=\sum_{i=1}^k x_i,\ Y=\sum_{i=1}^k y_i$。
  发现这是关于 $z$ 的开口向上的二次函数，因此最优值只在两端取，即要么都保留左边点，要么都保留右边点。

  最后考虑图。发现图等价于它的生成树。（因为图也不可能完全删完，但也最多只会留下一个点）
  于是这题最后就是个并查集+生成树。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;

typedef pair<int,int> pr;

const int maxn=5005;

int n,m;
vector<int> e[maxn];

pr operator + (const pr &a,const pr &b) {return make_pair(a.first+b.first,a.second+b.second);}

void ReadChar(char &ch) {
	ch=getchar();
	while (ch!='R' && ch!='B') ch=getchar();
}

int ga[maxn];
pr num[maxn];
int get(int x) {return ga[x]==x ?x :ga[x]=get(ga[x]) ;}
void merge(int x,int y) {
	e[x].push_back(y), e[y].push_back(x);
	x=get(x), y=get(y);
	ga[x]=y;
	if (x!=y) num[y]=num[x]+num[y];
}

inline int calc(int x,int y) {return x*m+y*n-x*y;}

vector<pair<pr,int>> ans;
bool vis[maxn];
void dfs(int k,int c) {
	vis[k]=1;
	for(int go:e[k]) if (!vis[go]) {
		if (c==0) ans.push_back(make_pair(make_pair(k,go-n),1));
			else ans.push_back(make_pair(make_pair(go,k-n),0));
		dfs(go,c^1);
	}
}

int main() {
	scanf("%d %d",&n,&m);
	
	fo(i,1,n) ga[i]=i, num[i]=make_pair(1,0);
	fo(j,1,m) ga[n+j]=n+j, num[n+j]=make_pair(0,1);
	
	fo(i,1,n)
		fo(j,1,m) {
			char ch;
			ReadChar(ch);
			if (ch=='R') merge(i,n+j);
		}
	
	int compNum=0;
	pr compRB;
	fo(i,1,n+m) if (get(i)==i && num[i].first+num[i].second>1) {
		compNum++;
		compRB=compRB+num[i];
	}
	
	if (calc(compRB.first-compNum,compRB.second)>calc(compRB.first,compRB.second-compNum)) {
		fo(i,1,n) if (!vis[i]) dfs(i,0);
	} else {
		fo(j,1,m) if (!vis[n+j]) dfs(n+j,1);
	}
	
	printf("%d\n",ans.size());
	reverse(ans.begin(),ans.end());
	for(auto p:ans) printf("%c %d %d\n",(p.second ?'Y' :'X' ),p.first.first,p.first.second);
}