【JZOJ5051】平行宇宙 题解

题目大意

  有 n 个宇宙，每个宇宙都连出去一条单向边。边的长度都是 1。
  现在要新加一些单向边（长度为 1），使得从 1 号节点出发到任意节点的最短路长度不超过 k。求最少加多少边。
  n<=5e5， k<=2e4

题解

  它是个环套树（森林），那么树上的叶子节点肯定要跟 1 号节点连边。然后通过叶子往上推，树的部分就做完了。

  然后单独看每个环，问题变成：有一个环，其中有些点已经染过色了，你要用长度为 k 的链去染这个环，求最少的链数。

  把环破成链，倍长一下。我们枚举一个起点，从这个起点开始往后跳（即预处理一个 next 数组，表示第 i 个点往后走 k 步之后第一个没被染色的点是谁），跳到距离大于环长为止，跳的次数就是这个点的答案。
  假设有 i< j 且 next[i]=next[j]，那么 j 跳到 next[j] 的时候，后面的事情跟 i 是一样的（当然 j 可能还要继续往后跳）。所以我们用并查集把跳过的缩起来，这样就可以保证每个点只会被跳一次了。

代码

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;

const int maxn=5e5+5;

int n,K,ans;

int tot,go[maxn],next[maxn],f1[maxn],fa[maxn];
void ins(int x,int y)
{
	go[++tot]=y;
	next[tot]=f1[x];
	f1[x]=tot;
}

int d[maxn],com[maxn];
bool roll[maxn];
void topo()
{
	int j=0;
	fo(i,1,n) if (!com[i]) d[++j]=i;
	for(int i=1; i<=j; i++)
	{
		if (--com[fa[d[i]]]==0) d[++j]=fa[d[i]];
	}
	fo(i,1,n) if (com[i]) roll[i]=1;
}

int tim[maxn];
bool bz[maxn];
void dfs(int k)
{
	bz[k]=1;
	tim[k]=K+500;
	for(int p=f1[k]; p; p=next[p])
	{
		dfs(go[p]);
		tim[k]=min(tim[k],tim[go[p]]+1);
	}
	if (k==1) tim[k]=0;
		else if (tim[k]>K && !roll[k])
		{
			tim[k]=1;
			ans++;
		}
}

int ga[2*maxn],stp[2*maxn];
int get(int x)
{
	if (ga[x]==x) return x;
	int t=ga[x];
	ga[x]=get(ga[x]);
	stp[x]+=stp[t];
	return ga[x];
}

int c0,c[2*maxn],f[2*maxn]; // f 就是上面说的 next
void calc(int x)
{
	c[c0=1]=x;
	for(int i=fa[x]; i!=x; i=fa[i]) c[++c0]=i;
	fo(i,1,c0) c[c0+i]=c[i];
	
	fo(i,1,c0) dfs(c[i]);
	fo(i,1,2*c0) tim[c[i]]=min(tim[c[i]],tim[c[i-1]]+1);
	
	fo(i,1,2*c0) ga[i]=i, stp[i]=0;
	fd(i,2*c0,2*c0-K+1) f[i]=2*c0+1;
	int last=2*c0+1;
	fd(i,2*c0,K+1)
	{
		if (tim[c[i]]>K) last=i;
		f[i-K]=last;
	}
	int nmin=n+500;
	fo(i,1,c0) if (tim[c[i]]>K)
	{
		int ans1=0, last=0;
		for(int j=i; j && j-i+1<=c0; j=f[j])
		{
			int t2=get(j);
			ans1+=1+stp[j];
			if (last)
			{
				int t1=get(last);
				ga[t1]=t2;
				stp[t1]+=stp[j]+1;
			}
			j=t2;
			last=j;
		}
		nmin=min(nmin,ans1);
	}
	
	ans+=(nmin==n+500) ?0 :nmin ;
}

int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&K);
	fo(i,1,n)
	{
		int x,y;
		scanf("%d %d",&x,&y);
		fa[x]=y;
		com[y]++;
	}
	
	topo();
	fo(i,1,n) if (!roll[i]) ins(fa[i],i);
	
	fo(i,1,n) if (roll[i] && !bz[i]) calc(i);
	
	printf("%d\n",ans);
}