【Topcoder SRM697 Hard】【JZOJ5180】ConnectedStates 题解

题目大意

  $n \le 2000,\ w_i \le 10^9$

$$\\$$ $$\\$$ $$\\$$

题解

  稍微有点妙啊。。。

  与度数有关的无根树计数，考虑 prufer 序。
  暴力可以直接 $O(n^3)$ dp 计算答案。

  考虑优化。

  假设第 $i$ 个数在 prufer 序的出现次数是 $a_i$，那么求的是：

$$\sum_{a_1+a_2+...+a_n=n-2} \frac{(n-2)!}{a_1!a_2!...a_n!} \prod_{i=1}^n (a_i+1)w_i^{a_i+1}$$

  其中与 $a$ 无关的是 $(n-2)!×\prod w_i$，去掉之后原式变成：

$$\sum_{a_1+a_2+...+a_n=n-2} \frac{\prod_{i=1}^n (a_i+1)w_i^{a_i}}{a_1!a_2!...a_n!}$$

  接着考虑拆开 $\prod (a_i+1)$，拆开后的每一项就相当于我选择一些 $a_i$ 乘起来。假设我选择的是 $a_{p_1},a_{p_2},…,a_{p_k}$，则有：

$$\sum_{a_1+a_2+...+a_n=n-2} \sum_{p_1,p_2,...,p_k} \frac{a_{p_1}×a_{p_2}×...×a_{p_k}×\prod_{i=1}^n w_i^{a_i}}{a_1!a_2!...a_n!}$$

  上面的 $a$ 会跟下面的阶乘约掉，那么我可以一开始就给这一部分 $a$ 减 $1$，然后乘上后面少了的 $w$，相当于：

$$\sum_{p_1,p_2,...,p_k} w_{p_1}×w_{p_2}×...×w_{p_k}\sum_{a_1+a_2+...+a_n=n-2-k} \frac{\prod_{i=1}^n w_i^{a_i}}{a_1!a_2!...a_n!}$$

  注意到我只要枚举 $k$ 的话，前后两部分就独立了。前面是个背包，所以现在化简后面。

  后面这个东西跟 EGF（指数型生成函数） 很像，相当于求 ：

$$\begin{array}{rcl} &&[x^{n-2-k}]\prod_{i=1}^n (\sum_{j\ge0} \frac{w_i^jx^j}{j!})\\ &=&[x^{n-2-k}]\prod_{i=1}^n e^{w_ix}\\ &=&[x^{n-2-k}]~e^{\sum w_ix}\\ &=&[x^{n-2-k}]\sum_{j\ge0} \frac{(\sum w_i)^j x^j}{j!}\\ &=&\frac{(\sum w_i)^{n-2-k}}{(n-2-k)!} \end{array}$$

  于是就。。做完了。

代码

#include<cstdio>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;

typedef long long LL;

const int maxn=2005;
const LL mo=1e9+7;

int n,w[maxn];
LL sumw,prow=1;

LL fac[maxn],ny[maxn],f[maxn][maxn];
LL mi(LL x,LL y)
{
	LL re=1;
	for(; y; y>>=1, x=x*x%mo) if (y&1) re=re*x%mo;
	return re;
}
void Pre()
{
	fac[0]=ny[0]=1;
	fo(i,1,n) fac[i]=fac[i-1]*i%mo;
	ny[n]=mi(fac[n],mo-2);
	fd(i,n-1,1) ny[i]=ny[i+1]*(i+1)%mo;
	
	f[0][0]=1;
	fo(i,1,n)
		fo(j,0,i)
		{
			f[i][j]=f[i-1][j];
			if (j) (f[i][j]+=f[i-1][j-1]*w[i])%=mo;
		}
}

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	fo(i,1,n)
	{
		scanf("%d",&w[i]);
		if (!w[i]) {printf("0\n"); return 0;}
		(sumw+=w[i])%=mo;
		(prow*=w[i])%=mo;
	}
	
	Pre();
	
	LL ans=0;
	fo(k,0,n-2) (ans+=f[n][k]*mi(sumw,n-2-k)%mo*ny[n-2-k])%=mo;
	
	printf("%lld\n",ans*prow%mo*fac[n-2]%mo);
}