【XVII Open Cup E.V. Pankratiev. Grand Prix of Europe. L】Lost Logic 题解

题目大意

  有 $n$ 个布尔变量 $x_1,\cdots,x_n$，在一组约束下恰好有三种赋值方式。
  约束是形如 $x_i \to x_j$ 这样，$x_i$ 可以是 $!x_i$，$x_j$ 可以是 $!x_j$。
  现给出这三种赋值方式，请构造出一组约束。

  $n \leq 50$，你构造的约束数量 $\leq 500$

$$\\$$ $$\\$$ $$\\$$

题解

  纪念一下已经傻掉的自己

  因为这个题目模型很 2-sat，所以上来就在想 tarjan，没想到最后居然是这么 sb 的做法。。

  首先，如果一个变量在三次赋值中都是相同的，那它是常值变量，可以一条约束直接解决掉。（若 $x_i \equiv 0$，则 $!x_i \to x_i$；若 $x_i \equiv 1$，则 $x_i \to !x_i$）
  然后，合并本质相同的变量。即，若 $x_i$ 与 $x_j$ 取值完全相同或完全相反，都可以用两条约束解决掉。

  那么，最后一定只能剩下两个变量。
  这是因为，由于合并了本质相同的变量，因此本质不同的情况最多只有 4 种，而其中有一种是常值的情况，因此最多只有 3 种。但是如果有 3 种的话，是无解的，因此最多 2 种。而合法的数据又不会只有 1 种，因此只能是 2 种。

  剩下的这两个变量可以一条约束解决掉。

  所以最后在 $2n$ 条约束下就解决了。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
using namespace std;

typedef long long LL;

const int maxn=1e5+5;

int n,a[maxn][4],m;
pair<pair<int,int>,pair<int,int>> ans[maxn];

int main()
{
	scanf("%d",&n);
	fo(j,1,3)
		fo(i,1,n) scanf("%d",&a[i][j]);
	
	int cnt=0, w1, w2;
	fo(i,1,n) if (a[i][1]==a[i][2] && a[i][1]==a[i][3])
	{
		ans[++m]=make_pair(make_pair(i,a[i][1]),make_pair(i,a[i][1]^1));
	} else
	{
		bool idp=1;
		fo(j,1,i-1) if (a[i][1]==a[j][1] && a[i][2]==a[j][2] && a[i][3]==a[j][3])
		{
			idp=0;
			ans[++m]=make_pair(make_pair(j,0),make_pair(i,0));
			ans[++m]=make_pair(make_pair(j,1),make_pair(i,1));
			break;
		} else if (a[i][1]!=a[j][1] && a[i][2]!=a[j][2] && a[i][3]!=a[j][3])
		{
			idp=0;
			ans[++m]=make_pair(make_pair(j,0),make_pair(i,1));
			ans[++m]=make_pair(make_pair(j,1),make_pair(i,0));
			break;
		}
		if (idp)
		{
			++cnt;
			if (cnt==1) w1=i; else w2=i;
		}
	}
	
	if (cnt!=2) puts("-1"); else
	{
		int df;
		if (a[w1][1]!=a[w1][2] && a[w1][1]!=a[w1][3]) df=1;
			else if (a[w1][2]!=a[w1][1] && a[w1][2]!=a[w1][3]) df=2;
				else df=3;
		ans[++m]=make_pair(make_pair(w1,a[w1][df]^1),make_pair(w2,a[w2][df]^1));
		
		printf("%d\n",m);
		fo(i,1,m)
		{
			if (ans[i].first.second) putchar('!');
			printf("x%d -> ",ans[i].first.first);
			if (ans[i].second.second) putchar('!');
			printf("x%d\n",ans[i].second.first);
		}
	}
}