【XVIII Open Cup E.V. Pankratiev. Grand Prix of Korea. G】MST with Metropolis 题解

题目大意

  有一幅 $n$ 个点 $m$ 条边的简单带权无向图，对于每个点 $i$，你要求出一棵生成树，满足：

1. 与 $i$ 相连的边全部在这棵生成树中；
2. 生成树边权和最小。

  $n \leq 10^5,~m \leq 3 \times 10^5,~边权w_i \leq 10^9$
  5s

$$\\$$ $$\\$$ $$\\$$

题解

  首先做出一个初始的 MST，然后每个点考虑更正这个 MST。

  怎么更正呢？就是每次删一条链上最大边然后新连一条边，于是我就被骗去写了一发 LCT。。。但这个做法太暴力了。

  事实上是有性质的。对于每个点 $i$，把 $i$ 及其相邻的点拿出来建虚树，虚树的树边对应原 MST 上的一条树链，那么这里每一条树链最多删一条边（不然就断开了）。
  于是虚树的树边权就定为对应树链的最大边权。对于点 $i$，把虚树的树边拿出来，在并查集上把 $i$ 及其相邻的点合并了，然后对于虚树边做 Kruscal。时间复杂度 $O(m \log m)$。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;

typedef long long LL;

const int maxn=1e5+5, maxm=3e5+5, MX=17;

struct E{
	int x,y,w;
};
bool cmpE(const E &a,const E &b) {return a.w<b.w;}

int n,m;
E e[maxm];
vector<pair<int,int>> eg[maxn],et[maxn];

LL ans;
int ga[maxn];
int get(int x) {return (ga[x]==x) ?x :ga[x]=get(ga[x]) ;}
void Kruscal()
{
	sort(e+1,e+1+m,cmpE);
	fo(i,1,n) ga[i]=i;
	fo(i,1,m) if (get(e[i].x)!=get(e[i].y))
	{
		ans+=e[i].w;
		ga[get(e[i].x)]=get(e[i].y);
		et[e[i].x].push_back(make_pair(e[i].y,e[i].w)),
		et[e[i].y].push_back(make_pair(e[i].x,e[i].w));
	}
}

int deep[maxn],fa[maxn][MX+2],maxv[maxn][MX+2],dfn[maxn],en[maxn],tot;
void dfs_pre(int k,int last,int s)
{
	deep[k]=deep[last]+1;
	fa[k][0]=last, maxv[k][0]=s;
	fo(j,1,MX) fa[k][j]=fa[fa[k][j-1]][j-1], maxv[k][j]=max(maxv[k][j-1],maxv[fa[k][j-1]][j-1]);
	dfn[k]=++tot;
	for(pair<int,int> son:et[k]) if (son.first!=last) dfs_pre(son.first,k,son.second);
	en[k]=tot;
}
int lca(int x,int y)
{
	if (deep[x]<deep[y]) swap(x,y);
	fd(j,MX,0) if (deep[fa[x][j]]>=deep[y]) x=fa[x][j];
	if (x==y) return x;
	fd(j,MX,0) if (fa[x][j]!=fa[y][j]) x=fa[x][j], y=fa[y][j];
	return fa[x][0];
}
int dis(int x,int y)
{
	int re=0;
	fd(j,MX,0) if (deep[fa[x][j]]>=deep[y]) re=max(re,maxv[x][j]), x=fa[x][j];
	return re;
}

int p0,p[2*maxn],z0,z[2*maxn];
bool cmp(const int &a,const int &b) {return dfn[a]<dfn[b];}
void vtree(int x)
{
	LL ans1=0;
	p0=0;
	for(pair<int,int> go:eg[x])
	{
		p[++p0]=go.first;
		ans1+=go.second;
	}
	p[++p0]=x;
	
	sort(p+1,p+1+p0,cmp);
	int tmp=p0-1;
	fo(i,1,tmp) p[++p0]=lca(p[i],p[i+1]);
	sort(p+1,p+1+p0,cmp);
	z0=m=0;
	fo(i,1,p0) if (i==1 || p[i]!=p[i-1])
	{
		while (z0 && en[z[z0]]<dfn[p[i]]) z0--;
		if (z0)
		{
			ans1-=dis(p[i],z[z0]);
			e[++m]=(E){z[z0],p[i],dis(p[i],z[z0])};
		}
		z[++z0]=p[i];
	}
	
	fo(i,1,p0) ga[p[i]]=p[i];
	for(pair<int,int> go:eg[x]) ga[go.first]=x;
	sort(e+1,e+1+m,cmpE);
	fo(i,1,m) if (get(e[i].x)!=get(e[i].y))
	{
		ans1+=e[i].w;
		ga[get(e[i].x)]=get(e[i].y);
	}
	
	printf("%lld\n",ans1+ans);
}

int main()
{
	scanf("%d %d",&n,&m);
	fo(i,1,m)
	{
		scanf("%d %d %d",&e[i].x,&e[i].y,&e[i].w);
		eg[e[i].x].push_back(make_pair(e[i].y,e[i].w)),
		eg[e[i].y].push_back(make_pair(e[i].x,e[i].w));
	}
	
	Kruscal();
	dfs_pre(1,0,0);
	
	fo(i,1,n) vtree(i);
}